Teorema fundamentală de aritmetică, formulare, demonstrare
Acest articol oferă o bază teoretică pentru descompunerea numerelor în factori primi -teorema principală a aritmeticii. Aici îi dăm formularea și dăm o demonstrație a teoremei principale de aritmetică.
Navigare în pagină.
Teoreme auxiliare
Teorema de bază a aritmeticiiafirmă posibilitatea descompunerii oricărui număr întreg mai mare de unu în factori primi. Înainte de a afirma și de a demonstra, luăm în considerare două teoreme auxiliare.
Orice număr întreg pozitiv și neunitar a este fie divizibil cu un număr prim p, fie a și p sunt numere coprime.
Cel mai mare divizor comun al lui a și p împarte p . Deoarece p este un număr prim prin condiție, numai 1 și p sunt divizorii săi pozitivi, prin urmare mcd(a, p) este egal fie cu 1, fie cu p . În primul caz gcd(a, p)=1 , de unde rezultă că numerele a și p sunt între prime. În cel de-al doilea caz mcd(a, p)=p , și deoarece a este divizibil cu mcd(a, p) , atunci a este divizibil cu p .
Dacă produsul mai multor factori non-unu întregi pozitivi este divizibil cu un număr prim p, atunci cel puțin un factor este divizibil cu p.
Fiecare dintre factorii conform teoremei anterioare este fie coprim cu p, fie divizibil cu p. Dacă toți factorii ar fi copri la p, atunci produsul acestor factori ar fi copri la p, datorită proprietăților numerelor coprime. Prin urmare, cel puțin unul dintre factori este divizibil cu p .
Teorema fundamentală a aritmeticii
Acum avem arsenalul necesar de cunoștințe care ne permite să demonstrămteorema de bază a aritmeticii.
Orice număr întreg mai mare decât 1 poate fi descompus într-un produs de factori primi, și aceastadescompunerea este unică dacă nu se ia în considerare ordinea factorilor.
Fie a un număr întreg mai mare decât unu.
Să demonstrăm mai întâi posibilitatea descompunerii numărului a în factori primi.
Fie p1 cel mai mic divizor pozitiv și non-1 al unui . În virtutea teoremei demonstrate în secțiunea din tabelul primelor, numărul p1 este prim. Apoi, după definiția divizibilității, există un întreg a1 astfel încât a=p1 · a1 . Dacă a1 este mai mare decât unu, atunci există cel mai mic divizor prim al său p2 , de unde a1=p2 a2 și a=p1 p2 a2 . Dacă a2 este mai mare decât unu, atunci cel mai mic divizor prim al său p3 există, deci a2=p3 a3 , de unde a=p1 p2 p3 a3 . Și astfel continuăm acest proces până când obținem an=1 , ceea ce este inevitabil, deoarece a , a1 , a2 , ... este o succesiune de numere întregi pozitive descrescătoare. Deci, putem obține întotdeauna o descompunere a numărului a în factori primi de forma a=p1·p2·…·pn (pentru n=1 avem a=p1 , această descompunere corespunde cazului în care numărul a este prim ).
Rămâne de demonstrat unicitatea descompunerii obţinute.
Să presupunem că pe lângă descompunerea a=p1 p2 ... pn există o altă descompunere a numărului a în factori primi q1, q2, ..., qm de forma a=q1 q2 ... qm . Atunci egalitatea p1·p2·…·pn=q1·q2·…·qm trebuie să fie adevărată. Să arătăm că pentru n≠m această egalitate este imposibilă, în timp ce pentru n=m produsele p1·p2·…·pn și q1·q2·…·qm sunt identic egale.
Partea dreaptă a ultimei egalități este divizibil cu q1 , apoi în virtutea teoremei anterioare cel puțin unul dintre factorii p1, p2, …, pn trebuie să fie divizibil cu q1 . Să presupunem că p1 este divizibil cu q1, dar deoarece numerele p1 și q1 sunt prime, atunci p1 este divizibil cu q1 numai când q1=p1 . Acest lucru ne permite să reducem ambele părți ale egalității p1·p2·…·pn=q1·q2·…·qm cu q1=p1 , obținem p2·…·pn=q2·…·qm . Argumentând în mod similar despre p2 și q2, ajungem laegalitate p3·…·pn=q3·…·qm . Și așa continuăm până când toți factorii se reduc în orice parte a egalității. Pentru n≠m obținem fie egalitatea 1=qn+1·…·qm , fie egalitatea pm+1·…·pn=1 , care sunt imposibile pentru numerele prime qn+1, …, qm și pm+1, …, pn . Dacă n=m , atunci obținem identitatea 1=1 , care indică egalitatea identică a expansiunilor a=p1·p2·…·pn și a=q1·q2·…·qm . Aceasta dovedește unicitatea factorizării unui număr în factori primi.
În concluzie, observăm că teorema fundamentală a aritmeticii este adesea numită teorema de factorizare a numerelor în factori primi.