Seturi numărabile
Seturi echivalente
1.Stabiliți o corespondență unu-la-unu între mulțimea tuturor numerelor naturale și mulțimea numerelor naturale care sunt multipli ai lui 5.
2.Setați bijecția semicercului și diametrul acestuia.
 |
 |
Lasă, atunci
.
5.Găsiți o mapare unu-la-unu a intervalului pe întreaga linie reală (geometric și analitic).
Să , atunci .
6.(Hotelul Gilbert). Undeva în spațiul cosmic există un hotel cu un număr infinit de camere single, toate fiind ocupate. Un bărbat a venit la hotel și a cerut să fie plasat într-o cameră separată. Administratorul a reușit să-și satisfacă cererea fără a evacua niciun oaspete. Cum a reușit să facă asta?
Numerotăm camerele cu numerele 1, 2, 3, ..., n, ... Mutăm oaspetele din camera 1 în a 2-a, de la a 2-a la a 3-a, ..., de la a n-a la (n + 1) a etc. Astfel, vom elibera prima camera, in care vom caza un nou oaspete.
7.Găsiți o mapare unu-la-unu a unui segmentpe o jumătate de segment.
 |
Deoarece în primul interval există, parcă, câte un „mai” puncte, atunci trebuie să eliminați punctul „în plus” undeva.
Să luăm o secvență arbitrară pe fiecare dintre intervale și să facem la fel ca cu hotelul Gilbert: atribuim un punct x1 din mulțime unui punct x2 din mulțime, unui punct x2 din A -
punctul x3 din B, ..., punctul xn din A - punctul xn+1 din B etc. Asa deAstfel, punctul x1 va fi eliberat în B, pe care îl vom pune în corespondență cu punctul b din mulțimea A. Punctele rămase din seturile A și B sunt aceleași, prin urmare, le vom pune în corespondență între ele.
Astfel, obținem o corespondență unu-la-unu între A și B.
8.Demonstrați că toate intervalele finite ale dreptei reale sunt echivalente.
După cum s-a arătat deja la nr. 4, toate intervalele cu același nume (adică toate segmentele, toate intervalele etc.) sunt echivalente între ele, iar în exemplul anterior am arătat că și intervalele cu nume diferite sunt echivalente, ceea ce trebuia să fie demonstrat.
9.Demonstrați că orice interval al dreptei numerice este echivalent cu întreaga dreaptă numerică.
10.Există o funcție continuă care mapează un segment unu-la-unupe întreaga linie numerică?
Nu, pentru că dacă o funcție este continuă pe un segment, atunci setul valorilor sale este, de asemenea, un segment.
Exemple de acasă
11.Găsiți o mapare unu-la-unu a segmentuluipe intervalul .
afișați în(similar cu sarcina 7, „ascundeți” doar două puncte din secvență).
12.Găsiți o mapare unu-la-unu a unui semisegment pe o rază .
Folosind funcția y = tgx.
13.Există o funcție continuă care mapează un segment unu-la-unupe interval?
14.Există o funcție continuă care mapează un segment unu-la-unupe un set format din două segmente?
În 13 și 14 răspunsul este „nu” (vezi problema 10).
15.Stabiliți o corespondență unu-la-unu între un cerc și o linie.
 |
Punctul O corespunde unui punct la infinit pe dreapta numerică.
Seturi numărabile.Putere continuu
1.Care este cardinalitatea mulțimii?
Acest set este unirea a două secvențe. Deoarece succesiunea este o mulțime numărabilă, și mulțimea A este numărabilă.
2.Care este cardinalitatea mulțimii de puncte de pe plan pentru care ambele coordonate sunt raționale?.
Mulțimea punctelor de pe planul cu coordonate raționale poate fi reprezentată ca . Astfel, aceasta este o mulțime ale cărei elemente se disting prin două semne care variază pe o mulțime numărabilă de valori; prin urmare, prin Lema 2.1, această mulțime este numărabilă.
3.Care este cardinalitatea mulțimii tuturor triunghiurilor din planul ale căror vârfuri au coordonate raționale?
Acest set este numărabil (vezi problema 2).
4.Demonstrați că mulțimea tuturor cercurilor de pe plan ale căror raze sunt raționale și ale căror coordonate centrale sunt numere raționale este numărabilă.
5.Demonstrați că, dacă distanța dintre oricare două puncte ale mulțimii E pe o dreaptă este mai mare decât 1, atunci mulțimea E este cel mult numărabilă.
Înconjurăm fiecare punct al mulțimii cu o vecinătate de lungime 1, atunci aceste vecinătăți nu se vor intersecta. În fiecare cartier alegem un număr rațional. Obținem o mulțime A de numere raționale, care este în corespondență unu-la-unu cu mulțimea E. Deoarece mulțimea A este o parte a mulțimii Q, nu este mai mult decât numărabilă, prin urmare, mulțimea E nu este mai mult decât numărabilă.
6.Demonstrați echivalența segmentuluiși a intervalului folosind teoreme privind proprietățile mulțimilor infinite.
Deoarece mulțimea este de asemenea nenumărabilă, după teorema 3.2este echivalentă.
7.Pe o linie, este dat un set de segmente care nu se intersectează în perechi. Ce se poate spune despre puterea acestui set?
Acest set nu esteeste mai mult decât numărabilă (vezi problema 5).
8.Demonstrați că mulțimea punctelor de discontinuitate ale unei funcții monotone definite pe întreaga dreaptă reală este finită sau numărabilă.
Să atribuim fiecărui punct de întrerupere, de exemplu, x1, un segment care caracterizează mărimea saltului în acest punct. Evident, pentru o funcție monotonă, această corespondență va fi unu-la-unu, iar aceste segmente nu se intersectează. Apoi, prin problema 7, mulțimea lor este cel mult numărabilă; prin urmare, mulțimea punctelor de discontinuitate este, de asemenea, cel mult numărabilă.
| următoarea prelegere ==> | ||
| Consoane și consoane, silabe | Blocuri de montare și polipaste, traverse, dispozitive articulate, dispozitive pentru slinging vase și aparate |