Matematică actuarială - Pagina 5
Să presupunem, pentru simplitate, că n este divizibil cu și , apoi numărul de încasări de numerar u n .
Dacă dobânda se acumulează de m ori în perioada de bază,
La calcularea dobânzii continue
4.4 Rezolvarea sarcinilor tipice
Când închiriați un teren, trebuie să alegeți una dintre opțiunile de plată a închirierii: a) 300 de mii de ruble. la sfarsitul fiecarui an; b) 2 milioane 400 mii de ruble. la sfârşitul unei perioade de şase ani. Ce variantă este mai de preferat dacă banca oferă 10% pe an la depozite, dobânda se calculează trimestrial? La ce plată la sfârșitul fiecărui an ambele opțiuni sunt practic echivalente?
Prima opțiune de plată este o anuitate postnumerando. În acest caz, este posibil să primiți plăți anuale de chirie și să investiți sumele primite în condiții de 10% pe an.
Suma acumulată a anuității conform primei opțiuni este de 2 milioane 337 mii 68 de ruble. Conform celei de-a doua opțiuni de plată, puteți primi 2 milioane 400 de mii de ruble la un moment dat, ceea ce înseamnă că această opțiune este mai profitabilă.
Pentru a determina valoarea plății la sfârșitul fiecărui an la care ambele opțiuni sunt echivalente
Salariatul încheie un contract cu societatea, conform căruia, în cazul lucrului său permanent în companie până la pensionare (la vârsta de 65 de ani), societatea se obligă să se transfere la sfârșitul fiecărei șase luni timp de 25 de ani la casa salariatului. cont bancar aceleași sume care vor oferi angajatului o pensie suplimentară la sfârșitul fiecărei luni în valoare de 8000 de ruble. de 18 ani. Cât ar trebui să transfere firma anual dacă angajatul are 40 de ani și se presupune că banca garantează o dobândă anuală de 8%, dobânda se acumulează trimestrial.
Plățile către angajat după pensionare sunt o anuitate postnumerando cu A = 8000 ruble, n = 18ani, p = 12, m = 4, r = 0,08, prin urmare, suma redusă la momentul pensionării salariatului este determinată de:
Aceeași sumă trebuie acumulată pe 25 de ani într-un cont bancar, adică este o sumă acumulată pentru anuitate postnumerando n= 25, p=2, m=4, r=0,08
Dacă o companie transferă 5.936,893 ruble în contul unui angajat la fiecare șase luni timp de 25 de ani, atunci fondurile acumulate
va fi suficient pentru a plăti angajatului în fiecare lună timp de 18 ani 8.000 de ruble.
În termen de 4 ani, contul bancar va primi zilnic aceleași plăți, în valoare de 100 de mii de ruble în fiecare an. Determinați suma acumulată până la sfârșitul celui de-al patrulea an folosind o rată a dobânzii de 15% pe an dacă se acumulează dobândă compusă a) anual; b) lunar.
a) n=4, m=1, r=15%. Deoarece plățile sunt primite destul de des, se poate presupune că sunt primite în mod continuu, apoi la A 100 mii de ruble.
Dar putem presupune că avem o anuitate postnumerando și p=360, A=100/360
Dacă se așteaptă o anuitate
Firma urmează să înființeze un fond pentru plata anuală (la sfârșitul anului) a beneficiilor către angajații săi. Determinați suma pe care compania trebuie să o depună la bancă, care se va asigura că primește 800 de mii de ruble pe termen nelimitat la sfârșitul fiecărui an dacă banca percepe: a) dobândă compusă la o rată de 6% anual; fi foarte-
dobândă compusă trimestrială la o rată de 6%; c) dobânda continuă cu o rată de creștere de 6%.
Fluxul de numerar în toate cazurile este o anuitate perpetuă postnumerando, cu A = 800 de mii de ruble. aflați valoarea actuală a anuității.
13037,06 mii de ruble
Salariatul încheie un contract cu firma pe 14 ani, conform căruia, pe lângă salariul lunarcontul bancar al angajatului la sfârșitul fiecărei perioade de doi ani va primi o sumă bonus de 80 de mii de ruble. Se impune determinarea sumei acumulate până la încheierea contractului, dacă sumele încasate vor acumula: a) dobândă anuală compusă la o dobândă nominală anuală de 12%; b) dobândă compusă trimestrială la o rată nominală anuală a dobânzii de 12%; c) dobândă continuă cu o rată de creștere de 12% pe an.
Încasările în numerar formează o anuitate postnumerando permanentă cu A = 80 de mii de ruble, o perioadă de n = 14 ani și o perioadă de u = 2 ani.
echipament achizitionat pe credit pentru 900
mii de ruble. la 25% pe an acumulat în cadrul schemei de dobândă compusă din soldul restant. Trebuie să rambursați datoria în sume egale la sfârșitul fiecărui al doilea an și să plătiți întreaga datorie în 10 ani. Este necesar să se determine suma fiecărei plăți și să întocmească un plan de rambursare a datoriilor.
Notați cu A valoarea fiecărei plăți dorite. Fluxul acestor plăți este o anuitate postnumerando, pentru care
PV pst a 900 de mii de ruble, r=25%,
n=10, m=1, u=2. De aceea
Plata a 567.147 de ruble efectuată la sfârșitul celui de-al doilea an constă din două părți: dobândă compusă pentru doi ani 900.000 ((1 + 0,25) 2 -
1)=506250 frec. iar partea rambursabilă a datoriei 567147 - 506250 = 60897 ruble.
În următorii doi ani, calculul va fi similar, dar suma creditului utilizat de antreprenor va fi mai mică și se va ridica la
Planul de rambursare a datoriilor este prezentat în tabelul Tabel - Planul de rambursare a datoriilor
4.5 Sarcini pentru soluție independentă
1. Pentru a crea un fond, compania investește anual 24 de mii de ruble în bancă. la o dobândă nominală anuală de 12%. Determinați suma care va fi acumulată în fond după 8 ani dacă: a)
contribuțiile se fac la sfârșitul anului,iar dobânda compusă se calculează semestrial; b) contribuțiile se fac în rate egale la sfârșitul fiecărei luni (adică 2 mii de ruble fiecare), iar dobânda compusă se acumulează trimestrial; c) contribuțiile se fac în rate egale la sfârșitul fiecărui trimestru (adică 6 mii de ruble fiecare) și se acumulează dobândă continuă.
2. Banca oferă o anuitate postnumerando timp de 10 ani cu o plată trimestrială de 4 mii de ruble. Rata anuală a dobânzii rămâne constantă pe parcursul perioadei, iar dobânda compusă este compusă trimestrial. La ce preţ se poate cumpăra această anuitate dacă plăţile încep să se facă: a) imediat; b) după 4 ani; c) în 5,5 ani, iar dobânda compusă este de 10% pe an?
3. Clientul dorește să acumuleze 800 de mii de ruble în contul său, făcând depozite egale la bancă la sfârșitul fiecărui trimestru la o rată a dobânzii compuse de 9% pe an, cu o angajare semestrială. Ce mărime trebuie să aibă fiecare depozit pentru ca clientul să poată acumula suma necesară în: a) 5 ani; b) 10 ani?
4. Pentru contribuții trimestriale la bancă în valoare de 10 mii de ruble. în cadrul schemei prenumerando, banca percepe dobândă compusă la o dobândă nominală de 14% pe an: a) o dată pe an; b) la fiecare şase luni. Cât va fi în cont după 3 ani?
5. O firmă vrea să creeze un fond în valoare de 400 de mii de ruble.
În acest scop, la sfârșitul fiecărui an, compania intenționează să contribuie cu 80 de mii de ruble. la bancă la 12% pe an. Aflați perioada necesară pentru a crea un fond dacă banca percepe dobândă compusă: a) anual; b) trimestrial; c) continuu.
6. Clientul a depus 20 de mii de ruble în bancă, intenționând să retragă 5,5 mii de ruble din cont la sfârșitul fiecărui an. Cât timp va putea clientul să retragă bani din cont dacă banca percepe dobândă compusă la o rată de 14% pe an: a) anual; b) trimestrial; c) continuu?
7. Făun tânăr de 24 de ani a avut ocazia să finalizeze un curs de formare de un an în valoare de 200 de mii de ruble. și ocupă o poziție mai înaltă. Cât de mai mare ar trebui să fie salariul într-o nouă poziție pentru ca un tânăr să considere pregătirea adecvată, dacă în prezent salariul său anual este de 132 de mii de ruble. Și consideră acceptabilă pentru sine rata de rentabilitate a investițiilor de 16% pe an? Într-o poziție nouă, un tânăr urmează să lucreze până la pensie, adică. 40 de ani. Cum se va schimba răspunsul dacă un bărbat de 54 de ani consideră o astfel de oportunitate de învățare?
8. Înainte de pensionare, domnul N vrea să-și asigure un venit suplimentar anual în valoare de 160 de mii de ruble. nedefinit de lungă. Câți bani ar trebui să depună în bancă?
dobândă compusă la o rată de 8% pe an cu o angajare trimestrială?
9. Compania garantează plata dividendelor în valoare de 4 mii de ruble. pe acțiune la sfârșitul fiecărui an pe o perioadă nedeterminată de timp. Are sens să cumpărați acțiuni ale acestei companii la un preț de 18 mii de ruble, dacă puteți pune bani în depozit la 11% pe an
cu calculul dobânzii compuse: a) anual; b) trimestrial?
10. Firma intenționează să producă unele produse timp de patru ani, primind un venit anual de 40 de milioane de ruble. Se presupune că produsele vor fi vândute mai mult sau mai puțin uniform pe tot parcursul anului. Estimați încasările de numerar preconizate, dacă este cazul: a) o dobândă compusă de 12% pe an; b) o rată continuă de 12% pe an.
11. În termen de 3 ani, aceleași plăți vor fi efectuate zilnic în contul bancar, în valoare anuală de 150 de mii de ruble. Determinați suma acumulată până la sfârșitul celui de-al treilea an utilizând o rată a dobânzii de 6% pe an, dacă se combinăefectuate: a) cu jumătate de an; b) lunar.
12. O companie de asigurări, care a încheiat un contract de 8 ani cu o anumită firmă, primește de la ea prime de asigurare de 70 de mii de ruble. la sfârşitul fiecărui bieniu. Compania plasează aceste contribuții în bancă la o dobândă nominală anuală de 10% pe an. Aflați valoarea actuală a sumei pe care societatea de asigurări o va primi în temeiul prezentului contract dacă se acumulează dobândă compusă: a) anual; b) trimestrial; c) continuu.
13. Înainte de a se pensiona, domnul N vrea să-și asigure un venit suplimentar de 100.000 de ruble la fiecare doi ani. nedefinit de lungă. Cât de mult ar trebui să depună într-o bancă care percepe dobândă compusă la o rată de 10% pe an compusă lunar?
14. Ați împrumutat 12.000 USD timp de cinci ani la o dobândă compusă de 12% din soldul restant. Acesta trebuie returnat în sume egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați cât din suma principală a împrumutului va fi rambursată în primii doi ani.
15. Merită să cumpărați un titlu de valoare de 5.500 USD care generează 1.000 USD în venit anual timp de șapte ani, dacă rata de actualizare este de 8%?
16. O întreprindere a achiziționat o clădire pentru 20.000 USD în următoarele condiții: a) 25% din cost este plătit imediat; b) partea rămasă este rambursată în plăți semestriale egale pe o perioadă de 10 ani
cu acumularea de 12% pe an pe partea restante a împrumutului în cadrul schemei
dobânda compusă este compusă trimestrial). Stabiliți cuantumul plății anuale.
17. Situl este închiriat pentru 20 de ani. Suma plății anuale (schema postnumerando) este de 1000 USD, iar la fiecare cinci ani plata este indexată cu 10%. Calculați prețul curent al contractului la momentul încheierii acestuia, dacă dobânda bancarărata este de 15% cu o angajare trimestrială.
18. Compania intenționează să producă unele produse timp de trei ani, primind un venit anual de 30 de milioane de ruble. Se presupune că produsele vor fi vândute uniform. Estimați încasările totale de numerar așteptate dacă a) se aplică 10% pe an (angajare lunară); b) 10% se acumulează zilnic.
5. LECȚIA PRACTICĂ №5 ANALIZA PROIECTELOR DE INVESTIȚII
5.1 Scopul sesiunii
Stăpânește metodologia de evaluare a eficienței proiectelor de investiții care sunt stabilite ca fluxuri financiare ordinare sau extraordinare.
5.2 Obiectivele lecției
Să stăpânească abilitățile de a găsi criterii de evaluare a proiectelor de investiții pe baza calculului unor indicatori precum: valoarea actuală netă, valoarea finală netă, indicele de profitabilitate, rata internă de rentabilitate, perioada de rambursare.
5.3 Scurte informații teoretice
și formule de calcul
Procesul de luare a deciziilor de investiții se bazează pe evaluarea și compararea volumului investițiilor propuse și a fluxurilor de numerar viitoare. Deoarece indicatorii comparați se referă la momente diferite în timp, problema cheie este problema comparabilității lor.
În termeni generali, proiectul de investiții P este un model P < IC i , C k , n , r >, unde IC i - investiție în i-an, i=1,…,m mai des
m=1; С l - intrare (ieșire) de fonduri în anul k=1,…,n; n-
durata proiectului; r este rata de actualizare.
Dacă fluxul financiar în componența sa conține o singură investiție și toate celelalte elemente ale acestui flux sunt pozitive,
atunci se numește flux financiar obișnuit. În caz contrar, fluxul se numește neobișnuit.
proiecte de investitii,analizate în procesul de bugetare de capital, au o anumită logică:
- se obișnuiește să se asocieze un flux de numerar fiecărui proiect de investiții, ale cărui elemente sunt fie intrări nete, fie ieșiri nete de numerar. Ieșirea netă se înțelege ca fiind excesul costurilor curente în numerar ale proiectului față de încasările curente de numerar (cu raportul opus - intrări nete).
- se presupune ca intregul volum al investitiilor se realizeaza la sfarsitul anului anterior primului an de intrare de numerar generat de proiect.
- intrarea (ieșirea) are loc la sfârșitul anului următor (deoarece, de exemplu, profitul este considerat un total cumulat la sfârșitul anului de raportare).
- Rata de actualizare utilizată pentru evaluarea proiectelor folosind metode bazate pe evaluări actualizate trebuie să corespundă duratei perioadei care stă la baza proiectului de investiții.
Criteriile utilizate în analiza activității investiționale pot fi împărțite în două grupe în funcție de luarea în considerare sau nu a parametrului timp: a) pe baza estimărilor actualizate; b) pe baza estimărilor contabile.
Metoda valorii actuale nete (VAN) se bazează pe compararea valorii investiției inițiale (IC) cu fluxul de numerar net actualizat total generat de aceasta în perioada de prognoză. Întrucât fluxul de numerar este distribuit în timp, acesta este actualizat utilizând o rată r stabilită de analist (investitor) independent pe baza rentabilității procentuale anuale pe care acesta își dorește sau îl poate avea asupra capitalului pe care îl investește. De exemplu, atunci când se analizează investițiile în întreprinderile de producție, sunt utilizate ratele de actualizareprofitabilitatea medie a industriei a întreprinderilor dintr-o clasă similară.
Să se facă o predicție pe care investiția ( IC ) va genera
în n ani, venituri anuale în valoare de C 1, C 2. Cu n. Valoarea totală acumulată a venitului actualizat (Valoarea actuală, PV) și respectiv valoarea actuală netă sunt calculate folosind formulele