Kaschenko_I.S._Asymptoticheskoe_Razlozhenie
Ministerul Educației și Științei din România
Universitatea de Stat din Iaroslavl P. G. Demidova
Departamentul de Modelare Matematică
Expansiunea asimptotică a soluțiilor ecuațiilor
Recomandat de Consiliul Științific și Metodologic al Universității pentru studenții care studiază în specialitate
Matematică aplicată și informatică
SĂPTĂMÂNĂ 517,52 BAY Â16ÿ73
Recomandat de Consiliul Editorial și Editural al Universității
ca publicație educațională. Plan anul universitar 2010 / 2011
Referent Departamentul de Modelare Matematică
Universitatea de Stat din Iaroslavl poartă numele P. G. Demidova
Kashchenko, I. S. Expansiunea asimptotică a soluțiilor
Ê 31 ecuații: metoda. instrucțiuni / I. S. Kashchenko; Yaroslavl stat un-ò im. P. G. Demidov. Yaroslavl: YarSU, 2011. 44 p.
Orientările descriu principalele metode de construire a aproximărilor asimptotice ale soluțiilor ecuațiilor algebrice: metoda expansiunii directe, metoda diagramelor Newton; utilizarea lor este ilustrată în detaliu cu exemple. Sunt oferite un număr mare de sarcini pentru soluții independente.
Destinat studenților care studiază la specialitatea 010501.65 Matematică și Informatică Aplicată (disciplina ½Metode asimptotice\, bloc DS), învățământ cu frecvență.
SĂPTĂMÂNĂ 517,52 BAY Â16ÿ73
°c Universitatea de Stat din Iaroslavl
lor. P. G. Demidova, 2011
1. Câteva definiții
1.1. oh-mic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Secvențe și serii asimptotice. . . 8
1.3. Aproximarea asimptotică a soluțiilor ecuațiilor 10
2. Expansiune directă într-un parametru mic
2.1. Rezolvarea ecuațiilor în serie. . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. RândLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Metoda diagramelor Newton
3.2. Definirea termenului principal al expansiunii. . . . . .
3.3. Rafinarea asimptoticelor. . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Exemplul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6. Exemplul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Sarcini pentru soluție independentă
Dacă ecuația conține un parametru mic, atunci acesta ar trebui utilizat. Este necesar, nu este posibil, nu plăcut și util, dar necesar. Într-adevăr, se întâmplă adesea ca atunci când rezolvăm o anumită problemă, doar pentru valori mici ale parametrului (sau pentru cele mari, care se rezumă în esență la același lucru), toate metodele standard eșuează. De obicei, în astfel de cazuri, metodele asimptotice se dovedesc a fi un panaceu.
Acest termen oarecum vag combină metodele clasice Laplace, metoda fazei staționare, metoda punctului de șa pentru estimarea integralelor care conțin un parametru mare, metoda stratului limită pentru investigarea soluțiilor ecuațiilor diferențiale (derivate obișnuite sau parțiale) cu un parametru mic pentru toate sau parte a celor mai mari derivate, diverse variante ale metodei de mediere pentru ecuații diferențiale sau integro-diferențiale care conțin coeficienți sau termeni liberi care fluctuează rapid în timp și/sau spațiu. De asemenea, puteți numi metode de expansiuni multiscale, o serie de metode speciale pentru ecuații cu parametri care variază lent, pentru ecuații cu singularități etc. Trebuie spus că metodele clasice sunt în continuă dezvoltare, trebuie îmbunătățite pentru a rezolva probleme noi. . Nici procesul de apariție a unor noi metode asimptotice nu se oprește.
Ghidurile descriu metode pentru expansiunea asimptoticăsoluții de ecuații: metoda expansiunii directe într-un parametru mic și metoda diagramelor Newton.
În prima secțiune, sunt date definiții pentru concepte precum unele mici, secvență asimptotică, asimptotică
rândul cerului. Se descrie care este aproximarea asimptotică a soluției ecuației.
A doua secțiune este dedicată metodelor de expansiune directă într-un parametru mic. În ciuda ingeniozității lor, aceste metode sunt adesea foarte eficiente. De asemenea, în a doua secțiune, derivăm o formulă pentru seria Lagrange, o sumă asimptotică care aproximează soluția (sau chiar o funcție a soluției) a unei ecuații de formă specială.
A treia secțiune descrie metoda diagramei Newton. Această metodă universală permite găsirea, cu o precizie de orice ordin, a aproximărilor asimptotice ale rădăcinilor polinoamelor în cazul în care coeficienții depind de un parametru mic.
Al patrulea conține sarcini pentru soluții independente.
Anexa conține un rezultat original al aproximării soluției unei ecuații transcendentale bazată pe utilizarea funcțiilor discontinue.
1. Câteva definiții
Mai întâi dăm câteva definiții importante. În primul rând, ne amintim ce este o-small și îi descriem principalele proprietăți. Apoi, cu ajutorul acestei definiții, vom introduce conceptele importante ale secvenței asimptotice
și o serie asimptotică. În cele din urmă, descriem ce este o aproximare asimptotică a unei soluții la o ecuație.
Vom spune că f(t) este o-mic de g(t) într-o vecinătate a lui t 0 (t 0 poate fi și §1) dacă limita la t există și dispare! t 0 din f și g, adică