Ecuații Diofantine și Diofantine, Rețeaua Socială a Educatorilor
| Rezumat cu prezentare electronică în aplicație | 909,86 KB |
MOU „Școala secundară nr. 1 Chaltyrskaya”
Cartierul Myasnikovsky din regiunea Rostov
Rezumat de matematică
Interpretat de Kheygetyan Dzeron Arsenovich,
elev de clasa a X-a.
Șef - Kilafyan Araksi Khevondovna,
- Introducere………………………………………………………………………………..3
- Partea principală a muncii:
- despre viața lui Diofantus……………………………………………………………..4
- „Aritmetica” lui Diophantus………………………………………………………..5
- rezolvarea ecuațiilor diofantine de gradul I……………….7
- rezolvarea ecuaţiilor diofante de gradul II şi III..13
- Concluzie…………………………………………………………………16
- Referințe……………………………………………………….17
Pentru prima dată am auzit despre Diofant în clasa a VI-a, când, în timp ce studiam tema „Rezolvarea ecuațiilor”, am rezolvat o problemă în care era necesar să se determine vârsta unui matematician antic. Apoi, în clasele cercului matematic, ne-am familiarizat cu notația pe care Diophantus a introdus-o mai întâi pentru necunoscute. Și acest lucru m-a interesat, din literatura disponibilă, am început să studiez modalități de rezolvare a ecuațiilor diofantine și vreau să vă aduc în atenție o parte din această lucrare.
Scopul lucrării: studierea modalităților de rezolvare a ecuațiilor diofantine de gradul I și II.
- învață cum să lucrezi cu literatura științifică;
- materiale de studiu despre opera lui Diophantus, în special despre contribuția sa la teoria numerelor;
- invata sa rezolvi ecuatii nedefinite de gradul I;
- să se familiarizeze cu metodele de rezolvare a ecuațiilor diofantine de gradul doi;
- rezuma materialul studiat, pregăti o prezentare, stabilește sarcini pentru viitor.
Corpul principal de lucru
1) Despre viața lui Diofantus.
Unul dintre cei mai originali matematicieni greci antici a fost Diophantus din Alexandria, ale cărui lucrări au fost de mare importanță pentru algebră și teoria numerelor. Până acum nu a fost clarificată nici anul nașterii, nici data morții lui Diofant: se crede că a trăit în secolul al III-lea d.Hr. Într-una dintre colecțiile antice scrise de mână de sarcini în versuri, viața lui Diophantus este descrisă sub forma următoarei ghicitori algebric, reprezentând inscripția mormântului de pe mormântul său:
Cenușa lui Diofant se odihnește mormântul; mirați-vă de ea – și o piatră
Vârsta celor plecați îi va spune cu artă înțeleaptă.
Prin voia zeilor, el a trăit o șaseme din viața sa în copilărie
Și a întâlnit jumătate din a șasea cu puf pe obraji.
Doar a șaptea a trecut, s-a logodit cu iubita lui.
După ce a petrecut cinci ani cu ea, înțeleptul și-a așteptat fiul;
Fiul său iubit a trăit doar jumătate din viața tatălui său.
A fost luat de la tatăl său de mormântul său timpuriu.
De două ori doi ani, părintele a plâns durerea grea,
Aici am văzut limita vieții mele triste.
Problema ghicitorii se reduce la compilarea și rezolvarea ecuației
Atât a trăit Diophantus.
2) „Aritmetica” de Diophantus
La începutul lucrării sale, Diophantus a plasat o scurtă introducere, care a devenit prima expunere a fundamentelor algebrei. Construiește câmpul numerelor raționale și introduce simboluri alfabetice. Acolo sunt formulate și regulile de operații cu polinoame și ecuații. Să facem imediat o rezervă că analiza soluțiilor la probleme face posibilă descoperirea unor fundamente teoretice mai largi în Aritmetică decât cele menționate explicit în introducere. În primul rând, acest lucru se aplică zonei numerice.
Amintiți-vă că în matematica antică clasică, numerele erau numite mulțimi de unități, adică numai numere naturale.
Diophantus, deși dădefiniția numărului ca un set de unități, dar de-a lungul cărților el numește orice soluție rațională pozitivă a problemelor sale cuvântul „număr”.
Cu toate acestea, numai fracțiile pozitive nu sunt suficiente pentru a construi o algebră, iar Diophantus face un pas decisiv - introduce numere negative. Pentru a face acest lucru, el alege o metodă cunoscută acum ca axiomatic: el definește un nou obiect, pe care îl numește „defect”, și formulează reguli pentru a-l trata. Diophantus scrie: „Lipsa înmulțită cu lipsa dă prezență; o deficiență, înmulțită cu o prezență, dă o deficiență.
Diophantus nu stabilește regulile de adunare și scădere pentru numere noi, le folosește pur și simplu în cărțile sale. Cu toate acestea, Diophantus folosește numere negative numai în calcule intermediare și alege întotdeauna un număr rațional pozitiv ca soluție.
În simbolismul alfabetic propus de Diophantus, este de remarcat faptul că, pe lângă semnul pentru o cantitate necunoscută, sunt introduse desemnări pentru primele șase grade, atât pozitive, cât și negative. Adică, pentru Diophantus, aceste mărimi nu au o semnificație geometrică, așa cum era înainte. După ce au formulat regulile de înmulțire a puterilor necunoscutului și introducând semne speciale pentru egalitate - i (literele inițiale ale cuvântului grecesc „isos” - „egal”) și un pătrat nedefinit - □, Diophantus pentru prima dată în matematică are ocazia de a scrie ecuații sau sisteme de ecuații. Desigur, forma ei de scriere nu seamănă deloc cu cea modernă, dar acestea sunt ecuații reale care se remarcă în text la fel ca în lucrările actuale de matematică. De fapt, înainte de Diophantus pur și simplu nu existau ecuații - nici definite, nici nedefinite. S-au considerat probleme pe care acum le putem reduce la ecuații și nimic mai mult.
În cele din urmă, înÎn introducere, Diophantus formulează două reguli de bază pentru transformarea ecuațiilor: regula pentru transferul unui termen al unei ecuații dintr-o parte în alta cu semn invers și regula pentru reducerea termenilor similari.
„Aritmetica” lui Diofant este o colecție de probleme (în total sunt 189), fiecare dintre ele fiind prevăzută cu o soluție (sau mai multe soluții) și explicațiile necesare. Prin urmare, la prima vedere pare că nu este o lucrare teoretică. Cu toate acestea, o lectură atentă arată că problemele sunt atent selectate și servesc la ilustrarea unor metode bine definite, strict gândite.
3) Rezolvarea ecuațiilor diofantine de gradul I
Metodele de rezolvare a ecuațiilor nedefinite reprezintă principala contribuție a lui Diofant la matematică. Se știe că în simbolismul lui Diophantus exista un singur semn pentru necunoscut. La rezolvarea ecuațiilor nedefinite, a folosit numere arbitrare ca mai multe necunoscute, în loc de care puteau fi luate oricare altele, ceea ce a păstrat caracterul generalității soluției sale.
Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi este una dintre cele mai frumoase ramuri ale matematicii. Nici un matematician important nu a trecut de teoria ecuațiilor diofantine. Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Cebyshev au lăsat o amprentă de neșters asupra acestei teorii interesante.
Multă vreme s-a sperat să se găsească o modalitate generală de rezolvare a ecuațiilor diofantine. Cu toate acestea, în 1970. Matematicianul de la Leningrad Matiyasevici a demonstrat că nu poate exista o astfel de cale generală.
Am studiat 2 moduri de rezolvare a ecuațiilor diofantine: prima dintre ele - metoda de enumerare - este folosită pentru rezolvarea celor mai simple probleme.
Sunt scutere și mașini în curte, au 18 roți în total. Câte scutere și câte mașini sunt în curte?
Se întocmește o ecuație cu două variabile necunoscute, în care x este numărul de mașini, y este numărulscutere: