Conținutul și semnificația simbolismului matematic
Completat de un student al Facultății de Matematică 4 curs 4 grup Klochanova Olga Mikhailovna
Universitatea Pedagogică de Stat Română A.I. Herzen
Istoria științei arată că structura logică și creșterea oricărei teorii matematice, pornind de la o anumită etapă a dezvoltării sale, devine din ce în ce mai dependentă de utilizarea simbolismului matematic și de îmbunătățirea acesteia.
Când indienii în secolul al V-lea d.Hr. e. au introdus semnul zero, au reușit să părăsească sistemul numeric pe biți și să dezvolte un sistem numeric zecimal pozițional absolut, a cărui superioritate, dacă nu este realizată, este folosită zilnic de sute de milioane de oameni. Algebra și geometria analitică se datorează mult faptului că Viète și Descartes au dezvoltat bazele calculului algebric. Notația pentru derivată și integrală introdusă de Leibniz a ajutat la dezvoltarea calculului diferențial și integral; problemele de calculare a suprafețelor, volumelor, muncii forței etc., a căror soluție anterior era disponibilă doar matematicienilor de primă clasă, au început să fie rezolvate aproape automat. Datorită acestui fapt, notația lui Leibniz s-a răspândit și a pătruns în toate ramurile științei în care se folosește analiza matematică.
Exemplul cu desemnarea derivatului și a integralei confirmă în mod deosebit clar corectitudinea remarcii lui L. Carnot că în matematică „simbolurile nu sunt doar o înregistrare a gândirii, un mijloc de a o reprezenta și de a o fixa, nu, ele afectează însăși ideea, ei, într-o oarecare măsură, îl dirijează, iar uneori este suficient să-i muți pe hârtie, după reguli foarte simple cunoscute, pentru a ajunge fără greșeală la noi adevăruri.
Simbolurile matematice servesc în primul rând pentru precizieînregistrare (definită unic) a conceptelor și propozițiilor matematice. Totalitatea lor – în condițiile reale ale aplicării lor de către matematicieni – constituie ceea ce se numește limbaj matematic.
Utilizarea semnelor ne permite să formulăm legile algebrei, precum și alte teorii matematice într-o formă generală. Un exemplu sunt formulele aceleiași algebre: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Semnele matematice fac posibilă scrierea într-o formă compactă și ușor vizibilă de propoziții, a căror exprimare în limbajul obișnuit ar fi extrem de greoaie. Acest lucru contribuie la o înțelegere mai profundă a conținutului lor, facilitează memorarea acestuia.
Semnele matematice sunt folosite eficient și fără eroare în matematică atunci când exprimă concepte precis definite legate de obiectele de studiu ale teoriilor matematice. Prin urmare, înainte de a folosi anumite semne în raționament și scris, matematicianul încearcă să spună ce înseamnă fiecare dintre ele. Altfel, s-ar putea să nu fie înțeles.
În legătură cu cele spuse, trebuie subliniate următoarele. Matematicienii nu pot spune întotdeauna imediat ce reprezintă acest sau acel simbol, pe care l-au introdus pentru dezvoltarea unei teorii matematice, prin intermediul căreia este posibilă rezolvarea unor probleme practic importante. De sute de ani, matematicienii au operat cu numere negative și complexe și au obținut rezultate de primă clasă cu ajutorul lor. Cu toate acestea, semnificația obiectivă a acestor numere și acțiunile cu ele a fost dezvăluită abia la sfârșitul secolului al XVIII-lea și la începutul secolului al XIX-lea. Leibniz a introdus simbolurile dx și dy, a dezvoltat calculul diferențial și, cu ajutorul regulilor acestuia din urmă, a arătat puterea operațională excepțională a acestor simboluri. Cu toate acestea, Leibniz nu a dezvăluit semnificația obiectivă a semnelor dx și dy; matematicienii secolului al XIX-lea au făcut-o.
Semnele și sistemele de semne joacă un rol în matematică foarte asemănător cucu ceea ce, în sferele mai largi de cunoaștere și activitate practică a oamenilor, aparține limbajului vorbit obișnuit. Asemenea unui limbaj obișnuit, limbajul semnelor matematice permite schimbul de adevăruri matematice consacrate, stabilind contactul între oamenii de știință în munca științifică comună.
Punctul decisiv este însă că limbajul semnelor matematice nu poate exista fără limbajul obișnuit. Limbajul obișnuit (natural) este mai semnificativ decât limbajul semnelor matematice; este necesar pentru construirea şi dezvoltarea limbajului semnelor matematice. Limbajul semnelor matematice este doar un instrument auxiliar atașat limbajului obișnuit și folosit în matematică și în domeniile în care sunt aplicate metodele sale.
Posibilitatea de a utiliza limbajul semnelor în matematică se datorează particularităților subiectului cercetării sale - faptul că studiază formele și relațiile obiectelor din lumea reală, care, în anumite limite, sunt indiferente față de conținutul lor material. . În același timp, specificitatea demonstrațiilor matematice este de asemenea semnificativă. Dovada matematică constă în construirea unui lanț de propoziții, a cărui verigă inițială este propozițiile originale adevărate, veriga finală este aserția care se dovedește. Vergile intermediare ale lanțului sunt obținute în cele din urmă din cea inițială și sunt conectate la acesta și la veriga finală folosind legile logicii și regulile de inferență. Dacă afirmațiile originale sunt scrise în formă simbolică, atunci dovada se reduce la modificările lor „mecanice”.
Actualitatea și necesitatea utilizării limbajului semnelor în matematică se datorează faptului că, cu ajutorul ei, este posibil nu numai să scrieți pe scurt și clar conceptele și propozițiile teoriilor matematice, ci și să dezvoltați calculul și algoritmi în ei - cel mai important lucru pentru dezvoltarea metodelor de matematică și aplicațiile ei. A ajungeasta cu ajutorul limbajului obișnuit, dacă este posibil, atunci numai în principiu, dar nu și în practică.
Eficiența suficientă a simbolismului teoriei matematice depinde în esență de caracterul complet al simbolismului. Această cerință este ca simbolismul să conțină denumirile tuturor obiectelor, relațiile și conexiunile acestora, necesare dezvoltării algoritmilor de teorie care să permită rezolvarea oricăror probleme din clase de probleme similare considerate în această teorie.
Operarea cu semne matematice este un experiment idealizat: descrie în forma sa cea mai pură ceea ce are loc sau poate fi (aproximativ sau exact) realizat în realitate. Acesta este singurul motiv pentru care operarea cu semne matematice poate servi la descoperirea de noi adevăruri matematice.
Forța decisivă în dezvoltarea simbolismului matematic nu este „liberul arbitru” al matematicienilor, ci cerințele practicii cercetării matematice. Cercetarea matematică reală este cea care îi ajută în cele din urmă pe matematicieni să afle care sistem de semne reflectă cel mai bine structura relațiilor cantitative luate în considerare, ceea ce poate fi un instrument eficient pentru studiul lor ulterioar.
§1. Introducerea zeroului și dezvoltarea sistemului numeric zecimal pozițional.
Ideea intuitivă a numărului este aparent la fel de veche ca umanitatea însăși, deși, în principiu, este imposibil să urmăriți cu siguranță toate etapele incipiente ale dezvoltării sale. Înainte ca o persoană să învețe să numere sau să inventeze cuvinte pentru numere, el avea, fără îndoială, o idee vizuală, intuitivă a numărului, care i-a permis să distingă între o persoană și două persoane, sau două și mai multe persoane.
Numele numerelor, care exprimă idei foarte abstracte, au apărut fără îndoială mai târziu decât primele simboluri brute pentru desemnarea numărului de obiecte.într-un anumit agregat. În antichitate, înregistrările numerice primitive erau făcute sub formă de crestături pe un băț, noduri pe o frânghie, așezate într-un șir de pietricele și s-a înțeles că există o corespondență unu-la-unu între elementele setul fiind numărat și simbolurile înregistrării numerice. Dar pentru a citi astfel de înregistrări numerice, numele numerelor nu au fost folosite direct. Acum recunoaștem dintr-o privire seturi de două, trei și patru elemente; seturile formate din cinci, șase sau șapte elemente sunt oarecum mai greu de recunoscut dintr-o privire. Iar dincolo de această limită, este practic imposibil să stabilim numărul lor prin ochi, iar analiza este necesară fie sub formă de cont, fie într-o anumită structurare a elementelor. Scorul de pe etichete, aparent, a fost prima tehnică folosită în astfel de cazuri: crestăturile de pe etichete erau localizate în anumite grupuri. Numărarea degetelor era foarte răspândită și este foarte posibil ca numele unor numere să provină tocmai din această metodă de numărare.
O caracteristică importantă a contului este conectarea numelor numerelor cu o anumită schemă de numărare. De exemplu, cuvântul „douăzeci și trei” nu este doar un termen care înseamnă un grup de obiecte bine definit (prin numărul de elemente); este un termen compus care înseamnă „de două ori zece și trei”. Aici este clar vizibil rolul numărului zece ca unitate colectivă sau fundație; și într-adevăr, mulți oameni numără cu zeci, pentru că, după cum a notat Aristotel, avem zece degete pe mâini și pe picioare.
Sistemul numeric pe care îl folosim cel mai mult astăzi este pozițional zecimal. Decimală, deoarece baza sa este 10. Baza unui sistem de numere pozițional este un număr întreg ridicat la o putere, care este egal cu numărul de cifre folosite pentru a reprezenta numerele dintr-o anumită putere.sistem de numere. Baza arată, de asemenea, de câte ori se modifică valoarea cantitativă a unei cifre atunci când este mutată într-o poziție adiacentă. În sistemele de numere poziționale, echivalentul (valoarea) cantitativ al unei cifre depinde de locul (poziția) acesteia în intrarea numărului
Sistemul zecimal se caracterizează prin faptul că în el 10 unități din orice cifră formează unitatea următoarei cifre cele mai semnificative. Cu alte cuvinte, unitățile de cifre diferite reprezintă puteri diferite ale numărului 10.
Poziția zecimală a fost precedată de alte sisteme numerice bazate pe principii diferite. Deci un exemplu de sistem non-pozițional (adică un astfel de sistem în care echivalentul cantitativ al fiecărei cifre nu depinde de poziția sa (locul, poziția) în notația unui număr) este numerotarea folosită de grecii antici. Acest sistem este alfabetic. Primele opt litere ale alfabetului grecesc (cu adăugarea unei litere „arhaice”.