Baza spațiului vectorial » Algebră liniară
Site despre secțiunea de matematică superioară - algebră liniară
Baza spațiului vectorial
Definiție. Un sistem de vectori ai unui spațiu vectorial peste un câmp K se numește sistem generator (generator) de vectori ai acestui spațiu vectorial dacă reprezintă oricare dintre vectorii săi, adică. dacă există un set de scalari astfel încât .
Definiție. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial se numește sistem generator minim dacă, atunci când orice vector este îndepărtat din acest sistem, acesta încetează să mai fie un sistem generator.
Cometariu. Din definiție rezultă imediat că, dacă sistemul generator de vectori nu este minim, atunci există cel puțin un vector al sistemului, la eliminarea căruia din sistem, sistemul de vectori rămas va fi în continuare generator.
Lema (Pe un sistem generator dependent liniar.)
Dacă într-un sistem de vectori liniar dependent și generator, unul dintre vectori este exprimat liniar în termenii celorlalți, atunci acesta poate fi eliminat din sistem și sistemul de vectori rămas va fi generator.
Dovada. Fie ca sistemul să fie liniar dependent și generator, iar unul dintre vectorii săi să fie exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.
Pentru claritate și simplitate a notării, presupunem că
.
Deoarece este un sistem generator, există un set de scalari astfel încât
.
,
acestea. orice vector x este exprimat liniar în termeni de vectori ai sistemului, ceea ce înseamnă că este un sistem generator etc.
Corolarul 1. Un sistem de vectori liniar dependent și generator nu este minim.
Dovada. Urmează imediat din lemă și definiția unui sistem generator minim de vectori.
Corolarul 2. Sistemul generator minim de vectori este liniarindependent.
Dovada. Presupunând contrariul, ajungem la o contradicție cu Corolarul 1.
Definiție. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial se numește sistem independent liniar maxim dacă, atunci când orice vector este adăugat la acest sistem, acesta devine dependent liniar.
Cometariu. Din definiție rezultă imediat că, dacă sistemul este liniar independent, dar nu maxim, atunci există un vector, atunci când se adaugă la sistem, se obține un sistem liniar independent.
Definiție. Baza unui spațiu vectorial V peste un câmp K este un sistem ordonat al vectorilor săi care reprezintă orice vector al spațiului vectorial într-un mod unic.
Cu alte cuvinte, un sistem de vectori ai unui spațiu vectorial V peste un câmp K se numește bază dacă există un set unic de scalari astfel încât .
Teorema. (Pe patru definiții echivalente ale unei baze.)
Fie un sistem ordonat de vectori într-un spațiu vectorial. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
1. Sistemul este baza.
2. Sistemul este liniar independent și generator de vectori.
3. Sistemul este sistemul maxim liniar independent de vectori.
4. Sistemul este un sistem generator minim de vectori.
. Fie sistemul de vectori să fie o bază. Din definirea unei baze rezultă imediat că acest sistem de vectori este un sistem generator de vectori ai unui spațiu vectorial, așa că trebuie doar să dovedim independența sa liniară.
Să presupunem că sistemul dat de vectori este dependent liniar. Apoi există două reprezentări ale vectorului zero - trivial și non-trivial, ceea ce contrazice definiția unei baze.
. Fie sistemul de vectori liniar independent șigenerativ. Trebuie să demonstrăm că acest sistem liniar independent este maxim.
Să presupunem contrariul. Fie sistemul de vectori liniar independent dat să nu fie maxim. Apoi, în virtutea observației de mai sus, există un vector care poate fi adăugat la acest sistem, iar sistemul de vectori rezultat rămâne liniar independent. Totuși, pe de altă parte, vectorul adăugat sistemului poate fi reprezentat ca o combinație liniară a sistemului original de vectori datorită faptului că este un sistem generator.
Și obținem că în noul sistem extins de vectori, unul dintre vectorii săi este exprimat liniar prin ceilalți vectori ai acestui sistem. Un astfel de sistem de vectori este dependent liniar. Avem o contradicție.
. Fie sistemul de vectori ai unui spațiu vectorial să fie maxim independent liniar. Să demonstrăm că este un sistem generator minim.
a) Mai întâi demonstrăm că este un sistem generator.
Rețineți că, datorită independenței liniare, sistemul nu conține un vector zero. Fie un vector arbitrar diferit de zero. Să-l adăugăm la sistemul dat de vectori: . Sistemul rezultat de vectori nenuli este dependent liniar, deoarece sistemul original de vectori este maxim liniar independent. Deci, în acest sistem, există un vector exprimat liniar prin cele anterioare. În sistemul original liniar independent, niciunul dintre vectori nu poate fi exprimat în termenii celor anteriori, prin urmare, doar vectorul x este exprimat liniar în termenii celor anteriori. Astfel, sistemul reprezintă orice vector diferit de zero. Rămâne de observat că acest sistem reprezintă în mod evident și vectorul zero, adică. sistemul generează.
b) Acum să-i demonstrăm minimalitatea. Să presupunem contrariul. Atunci unul dintre vectorii sistemului poatefi eliminat din sistem, iar sistemul de vectori rămași va fi în continuare un sistem generator și, prin urmare, vectorul îndepărtat din sistem este, de asemenea, exprimat liniar în termeni de vectori rămași ai sistemului, ceea ce contrazice independența liniară a sistemului original. de vectori.
. Fie sistemul de vectori ai unui spațiu vectorial un sistem generator minim. Apoi reprezintă orice vector al unui spațiu vectorial. Trebuie să dovedim unicitatea reprezentării.
Să presupunem contrariul. Fie ca un vector x să fie exprimat liniar în termeni de vectori ai sistemului dat în două moduri diferite:
Și .
Scăzând pe celălalt dintr-una, obținem:
.
În virtutea corolarului 2, sistemul este liniar independent, adică. reprezintă vectorul nul doar trivial, deci toți coeficienții acestei combinații liniare trebuie să fie zero:
.
Astfel, orice vector x este exprimat liniar în termeni de vectori ai sistemului dat într-un mod unic, q.e.d.